ગણિતમાં કોઈ દાખલો અઘરો લાગે ત્યારે તેની આખી રીત યાદ કરવાનો પ્રયાસ કરતાં કયું પગલું શા માટે લેવું છે તે સમજવું વધુ ઉપયોગી છે. અહીં આપણે સરળ વર્ગસમીકરણને અવયવ પદ્ધતિ (factorisation)થી ઉકેલવાનું શીખીશું. આ એક ખ્યાલ-આધારિત માર્ગદર્શિકા છે; તમારા બોર્ડના વર્તમાન પાઠ્યક્રમ અને પ્રશ્નપત્રના સ્વરૂપ માટે સત્તાવાર પુસ્તક જુઓ.

વર્ગસમીકરણ ઓળખવાની રીત

જે સમીકરણને ax² + bx + c = 0 સ્વરૂપમાં લખી શકાય અને a ≠ 0 હોય, તે વર્ગસમીકરણ છે. ઉદાહરણ:

x² - 5x + 6 = 0

અહીં x² હોવાના કારણે આ વર્ગસમીકરણ છે. ઉકેલ એટલે xની એવી કિંમત જેના માટે ડાબી બાજુ શૂન્ય થાય.

ઉદાહરણ 1: પગલાંવાર ઉકેલ

પ્રશ્ન: x² - 5x + 6 = 0.

પગલું 1: એવી બે સંખ્યાઓ શોધો જેમનો ગુણાકાર +6 અને સરવાળો -5 આવે. તે સંખ્યાઓ -2 અને -3 છે.

પગલું 2: મધ્યપદને વિભાજિત કરીને લખો:

x² - 2x - 3x + 6 = 0

પગલું 3: જૂથ બનાવી અવયવ કાઢો:

x(x-2)-3(x-2)=0

અર્થાત્ (x-2)(x-3)=0.

પગલું 4: બે અવયવના ગુણાકારનું મૂલ્ય શૂન્ય હોવાથી x-2=0 અથવા x-3=0.

અટલે જવાબ: x=2 અથવા x=3.

ચકાસણી: x=2 માટે 4-10+6=0, અને x=3 માટે 9-15+6=0. બંને સાચા છે.

ઉદાહરણ 2: પહેલા સામાન્ય અવયવ લો

2x² - 8x = 0 ને ઉકેલો.

પહેલાં 2x સામાન્ય લો:

2x(x-4)=0

તેથી x=0 અથવા x=4. ધ્યાન: શરૂઆતમાં બંને બાજુ xથી ભાગી દેશો તો x=0 વાળો સાચો ઉકેલ ગુમાવી બેસશો.

કઈ ભૂલો વારંવાર થાય છે?

  • +6 નો ગુણાકાર મળ્યો એટલે +2,+3 લઈ લેવાં; અહીં જરૂરી સરવાળો -5 છે, એટલે -2,-3 લેવાં.
  • અવયવ મળ્યા પછી બંને અવયવને શૂન્ય બરાબર રાખવાનું ભૂલી જવું.
  • શૂન્ય મૂલ્ય આવે તેવી સંખ્યાથી ભાગીને કોઈ ઉકેલ ગુમાવી દેવો.
  • ફક્ત અંતિમ જવાબ લખવો, ચકાસણી ન કરવી.

દરેક ઉકેલ પછી મૂળ સમીકરણમાં x મૂકી જવાબ તપાસવાની ટેવ બનાવો.

હવે જાતે કરો

પહેલાં કાગળ પર પ્રયાસ કરો; પછી નીચેના જવાબ જુઓ.

  1. x² - 7x + 12 = 0
  2. x² - 4 = 0
  3. x² + 5x + 6 = 0
  4. x² - 6x + 9 = 0

જવાબો અને ટૂંકી ચકાસણી

  1. (x-3)(x-4)=0 એટલે x=3,4.
  2. (x-2)(x+2)=0 એટલે x=2,-2.
  3. (x+2)(x+3)=0 એટલે x=-2,-3.
  4. (x-3)²=0 એટલે x=3; આ પુનરાવર્તિત મૂળ છે.

બધા વર્ગસમીકરણો સહેલાઈથી પૂર્ણાંક અવયવમાં તૂટતાં નથી. એવા સમયે વર્ગસમીકરણના સૂત્ર જેવી અન્ય યોગ્ય રીત જોઈએ.

15 મિનિટની રોજની પ્રેક્ટિસ

પહેલી 5 મિનિટ બે ઉદાહરણો સમજવા, પછીની 7 મિનિટ ત્રણ પ્રશ્નો જાતે ઉકેલવા અને છેલ્લી 3 મિનિટ ભૂલનો પ્રકાર લખવા ફાળવો. બીજા દિવસે ગઈકાલે ખોટો પડેલો એક દાખલો ફરી ઉકેલો. વધુ પ્રેક્ટિસ માટે ગણિત અભ્યાસ માર્ગદર્શન, Self-Test અને ધોરણવાર સામગ્રી ઉપયોગી છે.

અભ્યાસ નોંધ: આ લેખમાં આપેલા પ્રશ્નો સમજ માટે તૈયાર કરાયેલા મૂળ ઉદાહરણો છે; સત્તાવાર બોર્ડ પ્રશ્નપત્રની નકલ નથી.