ધોરણ 12ના ગણિતમાં અવકલન (Differentiation) સમજતાં સૌથી પહેલાં “કોઈ રાશિ કેટલા ઝડપથી બદલાય છે?” એ વિચાર સમજો. માત્ર સૂત્ર યાદ રાખવાથી નવો દાખલો મુશ્કેલ લાગી શકે છે. અહીં બહુપદીના સરળ ઉદાહરણોથી અવકલજ અને ઢાળનો સંબંધ સમજીએ. ચોક્કસ પ્રકરણ, પ્રવાહ અને પરીક્ષાની પદ્ધતિ તમારા વર્તમાન પાઠ્યપુસ્તકમાં તપાસો.
અવકલજનો મૂળ અર્થ
સરળ રેખા y = 2x + 3 લો. xમાં 1નો વધારો થાય ત્યારે yમાં 2નો વધારો થાય છે; તેથી રેખાનો ઢાળ 2 છે. કોઈ વક્ર માટે xના ચોક્કસ બિંદુ પરનો સ્થાનિક ઢાળ અવકલજ દર્શાવે છે. તેને f’(x) અથવા dy/dx લખાય છે.
જો f(x) = x² હોય તો તેનો અવકલજ f’(x) = 2x છે. એટલે x = 3 પર ઢાળ 6 થાય છે. Functionનું મૂલ્ય અને અવકલજનું મૂલ્ય જુદાં છે: f(3) = 9, પરંતુ f’(3) = 6.
Power Rule: કઈ રીતે લાગુ કરવો?
ઘાતવાળી બહુપદી માટે મુખ્ય નિયમ છે: xⁿ નો અવકલજ n × xⁿ⁻¹. એટલે ઘાતને ગુણાંકમાં આગળ લાવો અને ઘાતમાં 1 ઘટાડો.
- x² → 2x
- x³ → 3x²
- 5x³ → 15x²
- 7 જેવી સ્થિર સંખ્યા → 0
યાદ રાખો: અચળ સંખ્યાનો અવકલજ 0 છે; તે સંખ્યા યથાવત્ નહીં રહે.
ઉદાહરણ 1: ત્રણ પદવાળી બહુપદી
પ્રશ્ન: f(x) = 3x² − 4x + 5.
પગલું 1: 3x²નો અવકલજ 6x.
પગલું 2: −4xનો અવકલજ −4.
પગલું 3: +5નો અવકલજ 0.
અટલે f’(x) = 6x − 4.
જો x = 2 પર ઢાળ જોઈએ તો f’(2) = 6 × 2 − 4 = 8.
ગણતરીને સમજવાની બીજી રીત
f(2) = 3 × 4 − 8 + 5 = 9. હવે x થોડું વધારીને 2.1 કરીએ: f(2.1) = 3 × 4.41 − 8.4 + 5 = 9.83. આ બે બિંદુ વચ્ચેનો અંદાજિત ઢાળ (9.83 − 9) / 0.1 = 8.3 છે, જે ચોક્કસ ઢાળ 8ની નજીક છે. અંતર વધુ નાનું કરીએ તો અંદાજ વધુ સારો બનશે.
ઉદાહરણ 2: બીજી ઘાતના પ્રશ્નમાં ફરક
g(x) = x³ − 3x હોય તો g’(x) = 3x² − 3.
- x = 1 માટે g’(1) = 3 − 3 = 0.
- x = 2 માટે g’(2) = 12 − 3 = 9.
અહીં શૂન્ય ઢાળનો અર્થ મૂળ Functionનું મૂલ્ય શૂન્ય છે એવો નથી.
જાતે કરો
- f(x) = 5x³ − 2x નો અવકલજ શોધો.
- g(x) = x² + 4x + 1 નો અવકલજ શોધો.
- h(x) = 4x² − 8x + 1 નો x = 1 પર ઢાળ શોધો.
- p(x) = x⁴ − 2x² નો અવકલજ શોધો.
જવાબો
- f’(x) = 15x² − 2.
- g’(x) = 2x + 4.
- h’(x) = 8x − 8; તેથી h’(1) = 0.
- p’(x) = 4x³ − 4x.
ભૂલ શોધવાની રીત: દરેક પદનો અવકલજ અલગ કાઢો; પછી કિંમત મૂકો. સ્થિર પદને 0 કરો. અન્ય Functionsમાં Chain Rule વગેરે જુદા નિયમો જોઈએ, તેથી આ Power Ruleને દરેક Function પર સીધો લાગુ ન કરશો.
આ પ્રેક્ટિસ પછી ગણિત પ્રેક્ટિસ માર્ગદર્શન, Self-Test અને અભ્યાસ સામગ્રી જુઓ.
નોંધ: ઉપરનાં ઉદાહરણો શૈક્ષણિક સમજ માટે મૂળરૂપે તૈયાર કરાયેલા છે; કોઈ સત્તાવાર બોર્ડ પ્રશ્નપત્રમાંથી લીધેલા હોવાનું દર્શાવાતું નથી.